WORLD OF MATHEMATICS: funciones trigonométricas

funciones trigonométricas

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo:

-La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

-El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo

\alpha

-El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo

\alpha

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

$\sen \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}$

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo

\alpha

, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

$\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}$

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

$\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}$

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

$\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}$

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

$\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}$

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

$\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}$

Funciones trigonométricas de ángulos notables:

	0°	30°	45°	60°	90°
sen	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\infty$

Funciones trigonométricas de ángulo doble:

Sabiendo las funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos, se pueden determinar las funciones trigonométricas de ángulo doble al plantear que

\alpha = \beta

$\sen(\alpha+\beta) =\sen \alpha \cos \beta + \sen \beta \cos \alpha$

$\sen 2\alpha =\sen\alpha \cos\alpha + \sen\alpha\cos\alpha = 2\sen\alpha\cos\alpha$

$\cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cos\beta-\sen\alpha\sen\beta$

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha-\sen^2\alpha$

Para la fórmula del coseno del ángulo doble se pueden presentar otras dos formas alternativas con el uso de las identidades pitagóricas: Convirtiendo

\cos\alpha

a términos de

\sen\alpha

, o convirtiendo

\sen\alpha

a términos de

\cos\alpha

$\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha -1$

$\cos2\alpha =1-2\sen^2\alpha$

Para la tangente del ángulo doble se procede de la misma manera:

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

Para productos de dos funciones sinusoidales complementarias, se tiene que:

\sen(A) \cos(B) = \sen \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) + \sen \left( \frac{A-B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)

\sen(A) \cos(B) = \frac12 \left( \sen(A+B)+\sen(A-B) \right)

Y para el caso alternativo:

\cos(A) \sen(B) = \sen \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) - \sen \left( \frac{A-B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)

\cos(A) \sen(B) = \frac12 \left( \sen(A+B)-\sen(A-B) \right)

Definiciones analíticas:

$\begin{cases} S'(x) = C(x) & S(0) = 0 \\ C'(x) = -S(x)& C(0) = 1 \end{cases}$

El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

$\cos x = C(x), \qquad \sen x = S(x)$

Series de potencias:

A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

$\sen x = \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k \; x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \cfrac{x}{1!} - \cfrac{x^3}{3!} + \cfrac{x^5}{5!} - \cfrac{x^7}{7!} \; \dots$

$\cos x = \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k \; x^{2k}}{(2k)!} = \cfrac{1}{0!} - \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} - \cfrac{x^6}{6!} \; \dots$

Relación con la exponencial compleja:

Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas según la fórmula de Euler:

$e^{ix} = \cos x + i \sen x \,$

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

$\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \qquad \sen x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

A partir de ecuaciones diferenciales:

Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

$y'' = -y.\,$

Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,

la función seno es la única solución que satisface la condición inicial

\scriptstyle \left( y'(0), y(0) \right) = (1, 0)\,

la función coseno es la única solución que satisface la condición inicial

\scriptstyle \left( y'(0), y(0) \right) = (0, 1)\,

Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones eigen del operador de la segunda derivada.

La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

$y' = 1 + y^2\,$

Funciones trigonométricas inversas:

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

La función ar-coseno real es una función

\left[-1,1\right] \to \left[0,2\pi \right]\,

, es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

$\operatorname{arcsen}(x) = \begin{cases} -\cfrac{\pi}{2} & x = -1 \\ x + \cfrac{1}{2}\cfrac{x^3}{3} + \cfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cfrac{x^5}{5} + \cfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cfrac{x^7}{7} + \dots & -1 < x < 1\\ +\cfrac{\pi}{2} & x = 1 \end{cases}$