Ecuaciones  

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones matemáticas, denominadas miembros, en las que aparecen elementos conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica simple:

                                                   

                                                      

La variable  representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas.

Uso de ecuaciones:  La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primera ley de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se considera una masa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 kg·m/s = 1 Newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.

Ejemplos:

• ecuación de estado
• ecuación de movimiento
• ecuación constitutiva                  

Definición general: 

Dada una función f : A → B y un b en B, es decir, un elemento del codominio de f.

En la ecuación dada, x se denomina incógnita.

Un ejemplo de ecuación es el siguiente, tomando

se tiene la ecuación con variable natural

 Tipos de ecuaciones: 

Las ecuaciones suelen clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto de números sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más comunes están:

• Ecuaciones algebraicas
  • De primer grado o lineales
  • De segundo grado o cuadráticas
  • De tercer grado o cúbicas
  • Diofánticas o diofánticas
  • Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios
• Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las funciones trigonométricas,exponenciales, logarítmicas, etc.
• Ecuaciones diferenciales
  • Ordinarias
  • En derivadas parciales
• Ecuaciones integrales
• Ecuaciones funcionales

Una ecuación diofántica es aquella cuya solución solo puede ser un número entero, es decir, en este caso A ⊆ ℤ.

Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.

Propiedades:

Se consideran como operaciones elementales aquellas que preservan una igualdad matemática. Ejemplos sencillos de operaciones elementales son la suma, la multiplicación y sus inversas respectivas, resta y división. Esto implica:

• Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.

• Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

• Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad no nula, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

En general, si se aplican funciones inyectivas a ambos miembros, la igualdad subsiste. Además, una igualdad es una relación de equivalencia,5 con lo cual se cumplen las siguientes propiedades. Propiedad reflexiva: a = a. Ejemplos: 14 = 14, x + 8 = x + 8 Propiedad simétrica: Si a = b, entonces b = a. Ejemplos: Si x = 5, entonces 5 = x. Si y = 2 + x, entonces 2 + x = y. Propiedad transitiva: Si a = b, y b = c, entonces a = c. Ejemplos: Si x = a, y a = 8b, entonces x = 8b. Si xy = 8z, y 8z = 32, entonces xy = 32. Ecuaciones algebraicas:  Una ecuación algebraica es aquella que contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales,radicales y otras. Por ejemplo: Definición Se llama ecuación algebraica con una incógnita la ecuación que se reduce a lo que sigue: donde n es un número entero positivo; α0, α1, α2, ..., αn – 1, αn se denominan coeficientes o parámetros de la ecuación y se toman dados; x se nombra incógnita y se busca su valor. Forma canónica:  Grado Se denomina grado de una ecuación polinomio al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Por ejemplo: Ecuación de primer grado Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita (aquí representada por la letra x) está elevada a la potencia 1 (grado = 1), es decir que su exponente es 1. Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica: donde a y b están en un conjunto numérico (ℚ, ℝ) con a diferente de cero. Su solución es sencilla: . Exige la resolución, la existencia de inversos multiplicativos. Ecuación de segundo grado Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica:  Cuando esta ecuación se plantea sobre ℂ, siempre se tienen dos soluciones:  Ejemplos de ecuaciones: